Comment calculer la longueur du côté d'un triangle
En mathématiques et en géométrie, calculer la longueur des côtés d’un triangle est un problème courant. Selon les conditions connues, les formules et méthodes de calcul de la longueur des côtés d'un triangle sont également différentes. Cet article présentera en détail comment calculer la longueur du côté d'un triangle en fonction de différentes conditions connues, et joindra des formules et des cas spécifiques.
1. Deux côtés connus et l'angle inclus (théorème du cosinus)
Lorsque les deux côtés d'un triangle et leur angle sont connus, la longueur du troisième côté peut être calculée à l'aide de la loi des cosinus. La formule du théorème du cosinus est la suivante :
| Conditions connues | formule |
|---|---|
| Côtés a et b, angle C | c² = a² + b² - 2ab * cos(C) |
Par exemple, on sait que les deux côtés a=5, b=7 et l'angle C=60 degrés, alors la longueur du troisième côté c peut être calculée par les étapes suivantes :
c² = 5² + 7² - 2*5*7*cos(60°) = 25 + 49 - 70*0,5 = 74 - 35 = 39
c = √39 ≈ 6,245
2. Deux angles et un côté sont connus (théorème des sinus)
Si vous connaissez les angles et un côté d’un triangle, vous pouvez utiliser la loi des sinus pour calculer les longueurs des deux autres côtés. La formule du théorème des sinus est la suivante :
| Conditions connues | formule |
|---|---|
| Deux angles A et B, côté a | b = (une * péché(B)) / péché(UNE) |
| Deux angles A et C, côté a | c = (une * péché(C)) / péché(UNE) |
Par exemple, on sait que l'angle A=30 degrés, l'angle B=60 degrés et le côté a=4, alors la longueur du côté b peut être calculée par les étapes suivantes :
b = (4 * sin(60°)) / sin(30°) = (4 * √3/2) / (1/2) = 4√3 ≈ 6,928
3. Triangle rectangle (théorème de Pythagore)
Pour un triangle rectangle, si les longueurs de deux côtés sont connues, la longueur du troisième côté peut être calculée à l’aide du théorème de Pythagore. La formule du théorème de Pythagore est la suivante :
| Conditions connues | formule |
|---|---|
| Côtés à angle droit a et b | Hypoténuse c = √(a² + b²) |
| Côté angle droit a, hypoténuse c | Côté angle droit b = √(c² - a²) |
Par exemple, on sait que le côté rectangle a=3 et le côté rectangle b=4, alors la longueur de l'hypoténuse c est :
c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
4. Trois faces connues (formule de Heron)
Si les longueurs des côtés d'un triangle sont connues, l'aire du triangle peut être calculée à l'aide de la formule de Heron, mais les longueurs des côtés elles-mêmes doivent être déterminées par d'autres méthodes. La formule d'Hélène est la suivante :
| Conditions connues | formule |
|---|---|
| Trois côtés a, b, c | s = (une + b + c) / 2 Superficie = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) |
Par exemple, on sait que les trois côtés a=5, b=6 et c=7, alors l'aire peut être calculée par les étapes suivantes :
s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9
Aire = √(9 * 4 * 3 * 2) = √216 ≈ 14,697
Résumé
Selon différentes conditions connues, les méthodes de calcul de la longueur des côtés d'un triangle sont également différentes. Voici un résumé de chaque situation :
| Conditions connues | Méthode applicable |
|---|---|
| Les deux côtés et l'angle | théorème du cosinus |
| Deux coins et un côté | Théorème des sinus |
| Deux côtés d'un triangle rectangle | Théorème de Pythagore |
| trois côtés | Formule du héron (pour la superficie) |
J'espère que grâce à l'introduction de cet article, vous pourrez maîtriser les différentes méthodes de calcul des longueurs des côtés des triangles et les utiliser de manière flexible dans des applications pratiques.
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